GRAF
Pendahuluan
Graf digunakan untuk
merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan
antara objek-objek tersebut. Gambar berikut ini sebuah graf yang menyatakan
peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Provinsi Jawa Tengah.
1. Sejarah Graf
Sejarah graf diawali
dari permasalahan jembatan
Konigsberg (tahun 1736) yaitu bisakah melalui setiap
jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula?
Graf yang
merepresentasikan jembatan Konigsberg:
·
Simpul (vertex) à menyatakan daratan
·
Busur (edge) à menyatakan jembatan
Euler mengungkapkan
bahwa tidak mungkin seseorang berjalan melewati tepat satu kali masing-masing
jembatan dan kembali lagi ke tempat semula. Hal ini disebabkan pada graf model
jembatan Königsberg itu tidak semua simpul berderajat genap
2. Definisi Graf
Graf G
didefinisikan sebagai pasangan
himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini:
·
V = himpunan tidak kosong dari simpul-simpul
(vertices) = { v1 , v2
, ... , vn }
·
E
= himpunan busur/sisi (edges) yang
menghubungkan sepasang simpul
= {e1 , e2 , ... , en }
G1 adalah graf dengan
V = { 1, 2, 3, 4 }
E = { (1, 2), (1, 3), (2,3), (2,
4), (3, 4) }
G2 adalah graf dengan
V = { 1, 2, 3, 4 }
E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3),
(2, 4), (3, 4), (3, 4) } = { e1, e2, e3,
e4, e5, e6, e7}
G3 adalah graf dengan
V = { 1, 2, 3, 4 }
E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4), (3, 3) = { e1,
e2, e3, e4, e5,
e6, e7, e8}
3. Jenis-Jenis Graf Dasar
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka
graf digolongkan menjadi dua jenis:
·
Graf sederhana (simple graph)
Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda
·
Graf tak-sederhana (unsimple-graph).
Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph)
contoh:
4. Jenis-Jenis Graf berdasarkan orientasi arah
Berdasarkan
orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf
dibedakan atas 2 jenis:
·
Graf tak-berarah
(undirected graph)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi
arah disebut graf tak-berarah.
·
Graf berarah
(directed graph atau digraph)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf
berarah dan tidak memiliki sisi ganda.
5 Terminologi Graf
A. Ketetanggaan (Adjacent)
Dua buah simpul
dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung.
Tinjau graf G1
:
·
simpul
1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3
·
simpul
1 tidak bertetangga dengan simpul 4.
B. Bersisian (Incidency)
Untuk sembarang sisi
e = (vj, vk) dikatakan e
bersisian dengan simpul vj , atau e bersisian dengan
simpul vk
Contoh 5
Tinjau graf G1:
·
sisi
(2, 3) bersisian dengan simpul 2 dan
simpul 3
·
sisi
(1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4.
C. Simpul
Terpencil (Isolated Vertex)
Simpul
terpencil
ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.
Contoh 6
Tinjau graf G3:
simpul 5 adalah simpul terpencil.
D. Graf Kosong (null graph
atau empty graph)
Graf yang
himpunan busurnya merupakan himpunan kosong (Nn).
E. Derajat (Degree)
Derajat suatu simpul adalah jumlah
sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Notasi yang digunakan :
d(v)
Tinjau graf G1:
·
d(1) = d(4)
= 2
·
d(2) = d(3) = 3
Contoh 8
Tinjau graf G2:
·
d(1) = 3 à
bersisian dengan sisi ganda
·
d(3) = 4 à
bersisian dengan sisi gelang (loop)
Tinjau graf G3:
·
d(5) = 0 à simpul terpencil
·
d(4) = 1 à simpul
anting-anting (pendant vertex)
F. Derajat Graf
Berarah
Pada sebuah graf berarah maka
·
din(v) = derajat-masuk (in-degree)
= jumlah busur yang masuk ke simpul v
·
dout(v) = derajat-keluar (out-degree)
= jumlah busur yang keluar dari simpul
v
·
d(v)
= din(v)
+ dout(v)
Tinjau graf G4:
din(1) = 2;
dout(1) =
1
din(2) = 2;
dout(2) =
3
din(3) = 2;
dout(3) =
1
din(4) = 1;
dout(3) =
2
G. Lemma Jabat
Tangan
Jumlah derajat semua
simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah busur pada graf tersebut.
Dengan kata lain,
jika G = (V, E), maka:
Tinjau graf G1:
d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 3 + 2 = 10
Tinjau graf G2:
d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4 = 10
3.1.5.8
Lintasan
Lintasan yang
panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn
di dalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul
dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1,
e2, v2,... , vn –1,
en, vn sedemikian sehingga e1
= (v0, v1), e2 = (v1,
v2), ... , en = (vn-1,
vn) adalah sisi-sisi dari graf G.
Contoh 13
Pada prinsipnya simpul
dan sisi yang dilalui di dalam lintasan boleh berulang. Sebuah lintasan
dikatakan Lintasan Sederhana (simple path) jika semua simpulnya berbeda
(setiap sisi dilalui hanya satu kali). Lintasan yang berawal dan berakhir pada
simpul yang sama disebut lintasan Tertutup (close path). Lintasan yang
tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan terbuka
(open path). Coba perhatikan pada
G1 lintasan:
·
1,2,4,3
: lintasan sederhana dan lintasan terbuka
·
1,2,4,3,1
: lintasan sederhana dan lintasan
tertutup
·
1,2,4,3,2
: bukan lintasan sedernana tetapi
lintasan terbuka
H. Sirkuit
Lintasan yang berawal
dan berakhir
pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus. Coba kita tinjau graf G1:
1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.
Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam
sirkuit tersebut. Sirkuit 1, 2, 3, 1 pada G1 memiliki
panjang 3
3.1.5.10
SubGraf dan
Komplemen
Misalkan G =
(V, E) adalah sebuah graf. G1 = (V1,
E1) adalah SubGraf dari G jika V1 Í V dan E1 Í E. Komplemen dari SubGraf
G1 terhadap graf G adalah graf G2 =
(V2, E2) sedemikian sehingga E2
= E - E1 dan V2 adalah himpunan
simpul yang anggota-anggota E2 bersisian dengannya.
Contoh 14
Perhatikan
Graf G1
Graf G1 SubGraf G1 bukan Subgraf G1
I. SubGraf
Rentang
SubGraf G1
= (V1, E1) dari G = (V,
E) dikatakan SubGraf rentang jika V1 =V
(yaitu G1 mengandung semua simpul dari G).
Graf Subgraf Rentang Bukan
subgraf rentang
J. Cut-Set
Cut-set dari graf terhubung G
adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak
terhubung. Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen. Terdapat
banyak cut-set pada sebuah graf terhubung.
Contoh 15
Pada graf di bawah,
{(1,2), (1,5), (3,5), (3,4)} adalah cut-set. Himpunan {(1,2), (2,5)}
juga adalah cut-set, {(1,3), (1,5), (1,2)} adalah cut-set,
{(2,6)} juga cut-set, {(1,2), (2,5), (4,5)} bukan cut-set
sebab himpunan bagiannya, {(1,2), (2,5)} adalah cut-set.
K. Graf Berbobot
Graf berbobot adalah
graf yang setiap sisinya diberi sebuah bobot
Contoh 16
6. Lintasan
dan Sirkuit
Berikut ini akan diperkenalkan lintasan dan sirkuit Euler dan Hamilton
A. Lintasan dan
Sirkuit Euler
Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui
masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Euler ialah
sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali. Graf yang mempunyai
sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph). Graf yang
mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler (semi-Eulerian
graph).
B. Lintasan dan
Sirkuit Euler Pada Graf Tidak Berarah
Graf tidak berarah memiliki
lintasan Euler jika dan hanya jika
· -Terhubung
· -Memiliki
dua buah simpul berderajat ganjil
· -atau
setiap simpul berderajat genap.
Graf tidak berarah G
memiliki sirkuit Euler (Graf Euler) jika dan hanya jika setiap
simpul berderajat genap.
Contoh
17
Jika diketahui Graf berikut ini
Maka lintasan Eulernya adalah
- 3, 1, 2, 3, 4,
1
- 1, 3, 2, 1, 4,
3
Sebagai catatan Graf tersebut memiliki 2 buah simpul berderajat ganjil
(simpul 1 dan 3)
Contoh
18
Jika diketahui Graf berikut ini
Maka sirkuit eulernya adalah 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1
Sebagai catatan, graf tersebut Setiap
simpulnya berderajat
genap
C. Lintasan & Sirkuit Hamilton
Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam
graf tepat satu kali. Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap
simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul
akhir) yang dilalui dua kali. Graf
yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan Graf Hamilton, sedangkan graf yang
hanya memiliki lintasan Hamilton disebut Graf Semi-Hamilton.
(a) (b) (c)
Perhatikan pada Gambar di atas bahwa Graf:
(a)
graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2,
1, 4)
(b)
graf yang memiliki sirkuit Hamilton (1, 2, 3, 4, 1)
(c)
graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit
Hamilton
1 Comments:
Turf with titanium hair clipper - Tatian-arts
Turf with titanium hair clipper. titanium grey Tinted with a thick handle on top, a titanium keychain razor blade titanium rod will help protect the is titanium a metal beard from the bites. seiko titanium watch
Post a Comment
Subscribe to Post Comments [Atom]
<< Home