PERMUTASI DAN KOMBINASI

PERMUTASI DAN KOMBINASI

 1. PERMUTASI
Permutasi adalah suatu pengacakan dari objek-objek dengan memperhatikan urutannya. Permutasi       merupakan bentuk khusus aplikasi prinsip perkalian.

Ø  Prinsip perkalian
Jika kejadian pertama terdapat n1 cara dan kejadian kedua terdapat n2 cara sampai kejadian i terdapat ni cara, maka beberapa kejadian dapat terjadi secara bersama dalam  n1.n2.......ni cara.

Secara umum permutasi r dan n anggota yang berbeda  P(r,n) ada jika r<=n.
Jika kejadian 1 dapat dilakukan dalam n cara
Jika kejadian 2 dapat dilakukan dalam n-1 cara
Jika kejadian 3 dapat dilakukan dalam n-2 cara
.
.
.
Jika kejadian r dapat dilakukan dalam (n-(r-1)) cara
Menurut kaidah perkalian ada sebanyak

n

(n-1)

(n-2)

......

(n-(r-1))

cara

Jadi dengan prinsip perkalian :

P(r,n) = n(n-1) (n-2) ........ (n-(r-1))    .........................(1)
Pandang :

n! = n(n-1)(n-2)....3.2.1

Pada persamaan (1)

P(r,n) = n(n-1)(n-1).....(n-r+1)(n-r)!

                         (n-r)!

Maka, P(r,n) =    n!   

                        (n-r)!

2. KOMBINASI
Kombinasi adalah suatu pengacakan dari objek-objek dengan tidak memperhatikan urutan. 
Banyaknya kombinasi r unsur dari himpunan dengan n unsur dinotasikan dengan C(n,r) . 
Perhatikan bahwa jika r > n, definisikan C(n,r) = 0. Jika n=0 dan r bilangan bulat positif, maka C(0,r) . 
Hal tersebut akan berakibat bahwa  C(0,0) = 1. 
Fakta berikutnya adalah untuk bilangan bulat tidak negatif n berlaku C(n,0)=1, C(n,1)=n  dan  C(n,n) = 
v  Untuk r<=n, P(n,r) = r!C(n,r) 
Akibatnya, C(n,r) =   n!  
                              r!(n-r)!


3.  PERMASALAHAN PERMUTASI DAN KOMBINASI
A.     Permasalahan Permutasi
a)         Apabila s adalah himpunan ganda dengan n buah objek yang didalamnya terdiri atas k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki n1, n2, ....... ,nk (jumlah objek seluruhnya n1 , n2, ....... ,nk = n), maka jumlah cara menyusun seluruh objek adalah P(n; n1 ,n2 , ....... ,nk) =    n!    
                                                                                                             n1!n2!...nk!
b)      Banyaknya permutasi melingkar r unsur dari sebuah himpunan dengan n unsur berbeda adalah 
P(n,r) =      n!   

   r            r(n-r)!

Karena permutasi yang disusun melingkar dan urutannya searah jarum jam maka r=n, sehingga

P(n,r)  =    n!   

     r        r(n-r)!

P(n,n)  =     n!                              0!=1

    n         n(n-n)!                          bukti, P(n.n) =     n!    

                                                                             (n-n)!

           = n x (n-1)!

                  n x 0!

                                                             P(n,n)= n!

                                                                           0!

           = n(n-1)!                                    0! =     n!     =1

                   n                                                P(n,n)!

           = (n-1)!

Jadi banyaknya permutasi siklis dari n objek adalah (n-1)!

B.  Permasalahan Kombinasi

a)     Permasalahan kombinasi, C(n,r) sama dengan menghitung banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Beberapa himpunan bagian dengan elemennya yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama, meskipun urutan elemen-elemennya berbeda .

Misalkan A = {1.2.3}

Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dapat dibentuk dari himpunan A ada 3 buah, yaitu

{1,2}  = {2,1}

{1,3}  = {3,1}

{2,3}  = {3,2}                

atau

=         3!      = 3!  = 3buah 

    (3-2)!2!      1!2!

b)   Permasalahan kombinasi, C(n,r) dapat dipandang sebagai cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen didalam susunan hasil pemilihan tidak penting.

REFERENSI BUKU

Munir, Rinaldi.2003.Matematika Diskrit Edisi kedua.Bandung:informatika

Sunardi, dkk.2005.Matematika Kelas XI Program Studi Ilmu Alam.Jakarta:Bumi Aksara

Sutarno, Heri.2005.Matematika Diskrit.Bandung:Universitas Negeri Malang(UM Press)

http://www.informatika.org/ diakses tanggal 25 november 2010