PERMUTASI DAN KOMBINASI

PERMUTASI DAN KOMBINASI

 1. PERMUTASI
Permutasi adalah suatu pengacakan dari objek-objek dengan memperhatikan urutannya. Permutasi       merupakan bentuk khusus aplikasi prinsip perkalian.

Ø  Prinsip perkalian
Jika kejadian pertama terdapat n1 cara dan kejadian kedua terdapat n2 cara sampai kejadian i terdapat ni cara, maka beberapa kejadian dapat terjadi secara bersama dalam  n1.n2.......ni cara.

Secara umum permutasi r dan n anggota yang berbeda  P(r,n) ada jika r<=n.
Jika kejadian 1 dapat dilakukan dalam n cara
Jika kejadian 2 dapat dilakukan dalam n-1 cara
Jika kejadian 3 dapat dilakukan dalam n-2 cara
.
.
.
Jika kejadian r dapat dilakukan dalam (n-(r-1)) cara
Menurut kaidah perkalian ada sebanyak

n

(n-1)

(n-2)

......

(n-(r-1))

cara

Jadi dengan prinsip perkalian :

P(r,n) = n(n-1) (n-2) ........ (n-(r-1))    .........................(1)
Pandang :

n! = n(n-1)(n-2)....3.2.1

Pada persamaan (1)

P(r,n) = n(n-1)(n-1).....(n-r+1)(n-r)!

                         (n-r)!

Maka, P(r,n) =    n!   

                        (n-r)!

2. KOMBINASI
Kombinasi adalah suatu pengacakan dari objek-objek dengan tidak memperhatikan urutan. 
Banyaknya kombinasi r unsur dari himpunan dengan n unsur dinotasikan dengan C(n,r) . 
Perhatikan bahwa jika r > n, definisikan C(n,r) = 0. Jika n=0 dan r bilangan bulat positif, maka C(0,r) . 
Hal tersebut akan berakibat bahwa  C(0,0) = 1. 
Fakta berikutnya adalah untuk bilangan bulat tidak negatif n berlaku C(n,0)=1, C(n,1)=n  dan  C(n,n) = 
v  Untuk r<=n, P(n,r) = r!C(n,r) 
Akibatnya, C(n,r) =   n!  
                              r!(n-r)!


3.  PERMASALAHAN PERMUTASI DAN KOMBINASI
A.     Permasalahan Permutasi
a)         Apabila s adalah himpunan ganda dengan n buah objek yang didalamnya terdiri atas k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki n1, n2, ....... ,nk (jumlah objek seluruhnya n1 , n2, ....... ,nk = n), maka jumlah cara menyusun seluruh objek adalah P(n; n1 ,n2 , ....... ,nk) =    n!    
                                                                                                             n1!n2!...nk!
b)      Banyaknya permutasi melingkar r unsur dari sebuah himpunan dengan n unsur berbeda adalah 
P(n,r) =      n!   

   r            r(n-r)!

Karena permutasi yang disusun melingkar dan urutannya searah jarum jam maka r=n, sehingga

P(n,r)  =    n!   

     r        r(n-r)!

P(n,n)  =     n!                              0!=1

    n         n(n-n)!                          bukti, P(n.n) =     n!    

                                                                             (n-n)!

           = n x (n-1)!

                  n x 0!

                                                             P(n,n)= n!

                                                                           0!

           = n(n-1)!                                    0! =     n!     =1

                   n                                                P(n,n)!

           = (n-1)!

Jadi banyaknya permutasi siklis dari n objek adalah (n-1)!

B.  Permasalahan Kombinasi

a)     Permasalahan kombinasi, C(n,r) sama dengan menghitung banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Beberapa himpunan bagian dengan elemennya yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama, meskipun urutan elemen-elemennya berbeda .

Misalkan A = {1.2.3}

Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dapat dibentuk dari himpunan A ada 3 buah, yaitu

{1,2}  = {2,1}

{1,3}  = {3,1}

{2,3}  = {3,2}                

atau

=         3!      = 3!  = 3buah 

    (3-2)!2!      1!2!

b)   Permasalahan kombinasi, C(n,r) dapat dipandang sebagai cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen didalam susunan hasil pemilihan tidak penting.

REFERENSI BUKU

Munir, Rinaldi.2003.Matematika Diskrit Edisi kedua.Bandung:informatika

Sunardi, dkk.2005.Matematika Kelas XI Program Studi Ilmu Alam.Jakarta:Bumi Aksara

Sutarno, Heri.2005.Matematika Diskrit.Bandung:Universitas Negeri Malang(UM Press)

http://www.informatika.org/ diakses tanggal 25 november 2010

GRAF

Pendahuluan

Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar berikut ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Provinsi Jawa Tengah.

1. Sejarah Graf

Sejarah graf diawali dari permasalahan  jembatan Konigsberg (tahun 1736) yaitu bisakah melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula?

Graf yang merepresentasikan jembatan Konigsberg:

·         Simpul (vertex)             à menyatakan daratan

·         Busur  (edge)                à menyatakan jembatan

Euler mengungkapkan bahwa tidak mungkin seseorang berjalan melewati tepat satu kali masing-masing jembatan dan kembali lagi ke tempat semula. Hal ini disebabkan pada graf model jembatan Königsberg itu tidak semua simpul berderajat genap

2. Definisi Graf

Graf  G  didefinisikan  sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini:

·         V  = himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices)  = { v₁ , v₂ , ... , v_n }

·         E = himpunan busur/sisi  (edges) yang menghubungkan   sepasang  simpul  = {e₁ , e₂ , ... , e_n }

Contoh 1

G₁ adalah graf dengan

V = { 1, 2, 3, 4 }         

E =  { (1, 2), (1, 3), (2,3), (2, 4), (3, 4) }

 

Contoh 2

G₂ adalah graf dengan

V = { 1, 2, 3, 4  }   

E = { (1, 2), (2, 3), (1,  3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4) } = { e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇}

 

Contoh 3

G₃ adalah graf dengan

V = { 1, 2, 3, 4  }

E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4), (3, 3) = { e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇, e₈}     

                        

3. Jenis-Jenis Graf Dasar

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan menjadi dua jenis:

·         Graf sederhana (simple graph)

Graf yang tidak mengandung  gelang maupun sisi-ganda

·         Graf tak-sederhana (unsimple-graph).

Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan  graf tak-sederhana (unsimple graph)

contoh:

                     

4. Jenis-Jenis Graf berdasarkan orientasi arah

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf  dibedakan atas 2 jenis:

·         Graf tak-berarah (undirected graph)

Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.

·         Graf berarah (directed graph atau digraph)

Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah dan tidak memiliki sisi ganda.

5 Terminologi Graf

A. Ketetanggaan (Adjacent)

Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung.

Contoh 4

Tinjau graf G₁ :

·         simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3

·         simpul 1 tidak bertetangga dengan  simpul 4.

 

B. Bersisian (Incidency)

Untuk sembarang sisi e = (v_j, v_k) dikatakan e bersisian dengan simpul v_j , atau e bersisian dengan simpul v_k

Contoh 5

Tinjau graf G₁:

·         sisi (2, 3) bersisian dengan simpul 2  dan simpul 3

·         sisi (1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4.

C. Simpul Terpencil (Isolated Vertex)

Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.

Contoh 6

Tinjau graf G₃: simpul 5 adalah simpul terpencil.

D. Graf  Kosong (null graph atau empty graph)

Graf yang himpunan busurnya merupakan himpunan kosong (N_n).

E. Derajat (Degree)

Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Notasi yang digunakan : d(v)

Contoh 7

 Tinjau graf G₁:     

·         d(1) = d(4) = 2

·         d(2) = d(3) = 3

Contoh 8

Tinjau graf G₂:

·         d(1) = 3 à bersisian dengan sisi ganda          

·         d(3) = 4 à bersisian dengan sisi gelang (loop)

 

Contoh 9

Tinjau graf G₃:

·         d(5) = 0   à simpul   terpencil

·         d(4) = 1   à simpul anting-anting (pendant vertex)

 

F. Derajat Graf Berarah

Pada sebuah graf berarah maka

·         d_in(v)       = derajat-masuk (in-degree)              = jumlah busur yang masuk ke simpul v

·         d_out(v)      = derajat-keluar (out-degree)            = jumlah busur yang keluar dari simpul v

·         d(v)         = d_in(v) + d_out(v)                                                                                    

Contoh 10

Tinjau graf G₄:

d_in(1) = 2;               d_out(1) = 1

d_in(2) = 2;               d_out(2) = 3

d_in(3) = 2;               d_out(3) = 1

d_in(4) = 1;               d_out(3) = 2

G. Lemma Jabat Tangan

Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali  jumlah busur pada graf tersebut. 

Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka:

 

Contoh 11

Tinjau graf G₁: 

d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 3 + 2 = 10

Contoh 12

Tinjau graf G₂: 

d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4 = 10

 

3.1.5.8 Lintasan

Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v₀ ke simpul tujuan v_n di dalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v₀, e₁, v₁, e₂, v₂,... , v_{n –1}, e_n, v_n sedemikian sehingga e₁ = (v₀, v₁), e₂ = (v₁, v₂), ... , e_n = (v_n-1, v_n) adalah sisi-sisi dari graf G.

Contoh 13

Tinjau graf G₁: lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi (1,2), (2,4), (4,3). Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut. Lintasan 1, 2, 4, 3 pada G₁ memiliki panjang 3.

Pada prinsipnya simpul dan sisi yang dilalui di dalam lintasan boleh berulang. Sebuah lintasan dikatakan Lintasan Sederhana (simple path) jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi dilalui hanya satu kali). Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan Tertutup (close path). Lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan terbuka (open path). Coba perhatikan pada G₁ lintasan:

·         1,2,4,3            : lintasan sederhana dan  lintasan terbuka

·         1,2,4,3,1        : lintasan sederhana dan lintasan tertutup

·         1,2,4,3,2        : bukan lintasan sedernana tetapi lintasan terbuka

H. Sirkuit

Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus. Coba kita tinjau graf G₁: 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.

Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut. Sirkuit 1, 2, 3, 1 pada G₁ memiliki panjang 3

3.1.5.10 SubGraf dan Komplemen

Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf. G₁ = (V₁, E₁) adalah SubGraf dari G jika V₁  Í V dan E₁ Í E. Komplemen dari SubGraf G₁ terhadap graf G adalah graf G₂ = (V₂, E₂) sedemikian sehingga E₂ = E - E₁ dan V₂ adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E₂ bersisian dengannya.

Contoh 14

Perhatikan Graf G₁

                                Graf G1             SubGraf G1      bukan Subgraf G1

I. SubGraf Rentang

SubGraf G₁ = (V₁, E₁) dari G = (V, E) dikatakan SubGraf rentang jika V₁ =V (yaitu G₁ mengandung semua  simpul dari G).

                                                Graf              Subgraf Rentang    Bukan subgraf rentang

J. Cut-Set

Cut-set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen. Terdapat banyak cut-set pada sebuah graf terhubung.

Contoh 15

Pada graf di bawah, {(1,2), (1,5), (3,5), (3,4)} adalah cut-set. Himpunan {(1,2), (2,5)} juga adalah cut-set, {(1,3), (1,5), (1,2)} adalah cut-set, {(2,6)} juga cut-set, {(1,2), (2,5), (4,5)} bukan cut-set sebab himpunan bagiannya, {(1,2), (2,5)} adalah cut-set.

K. Graf Berbobot

Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah bobot

Contoh 16

6. Lintasan dan Sirkuit

Berikut ini akan diperkenalkan lintasan dan sirkuit Euler dan Hamilton

A. Lintasan dan Sirkuit Euler

Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali. Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler (semi-Eulerian graph).

B. Lintasan dan Sirkuit Euler Pada Graf Tidak Berarah

Graf tidak berarah memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika

·         -Terhubung

·         -Memiliki dua buah simpul berderajat ganjil

·         -atau setiap simpul berderajat genap.

Graf tidak berarah G memiliki sirkuit Euler (Graf Euler) jika dan hanya jika setiap simpul berderajat genap.

Contoh 17

Jika diketahui Graf berikut ini

Maka lintasan Eulernya adalah

1. 3, 1, 2, 3, 4, 1
2. 1, 3, 2, 1, 4, 3

Sebagai catatan Graf tersebut memiliki 2 buah simpul berderajat ganjil (simpul 1 dan 3)

Contoh 18

Jika diketahui Graf berikut ini

Maka sirkuit eulernya adalah 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1

Sebagai catatan, graf tersebut  Setiap simpulnya berderajat genap

C. Lintasan &  Sirkuit Hamilton

Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali. Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan Graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut Graf Semi-Hamilton.

(a)                        (b)                          (c)

Perhatikan pada Gambar di atas bahwa Graf:

(a)     graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2, 1, 4)

(b)     graf yang memiliki sirkuit Hamilton (1, 2, 3, 4, 1)

(c)     graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton